مدل رشد سولو

مدل رشد سولو یا مدل رشد سولو - سوان یک مدل رشد اقتصادی با ویژگی‌های برونزا بودن، بلندمدت بودن و در چارچوب نظریات مکتب کلاسیک است. مدل تلاش می‌کند رشد اقتصادی بلند مدت را با بررسی انباشت سرمایه، رشد جمعیت یا نیروی کار، و افزایش در بهره‌وری که به طور معمول پیشرفت فنی شناخته می‌شود توضیح دهد. هستهٔ اصلی این مدل تابع تولید تراکمی نئوکلاسیک کاب داگلاس است، که این امر ارتباط با مبانی اقتصاد خرد را فراهم می‌کند. این مدل به طور مستقل توسط دانشمندان رابرت سولو و تریور سوان در سال ۱۹۵۶ توسعه یافته، و جایگزین مدل پسا کینزینی هارود - دومار شد. به دلیل ویژگی‌های جذاب آن، این مدل نقطهٔ شروع مناسبی شد برای بسط‌ها و توسعه‌های متنوع دیگر. به عنوان مثال، در سال ۱۹۶۵، دیوید کاس و تیالینگ کوپمانس تحلیل فرانک رمسی از بهینه‌یابی مصرف کننده را کامل کرده، در نتیجه نرخ پس‌انداز را درونزا کردند -- مدل رمسی-کس-کوپمانس را مشاهده کنید.

فروض مدل

۱- اقتصاد آن قدر بزرگ است که مزایای ناشی از تقسیم کار در آن به پایان رسیده است.

۲- سایر داده‌ها به جز سرمایه، کار و دانش نسبتاً کم اهمیت هستند. یعنی دسترسی به زمین و منابع طبیعی یک محدودیت عمده نیست.

ریاضیات مدل

متغیرهای اساسی مدل تولید، $Y$$Y$ سرمایه، $K$$K$ نیروی کار، $L$$L$ و دانش، $A$$A$ بوده که به این صورت با هم در ارتباط هستند:

$Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))$$Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))$

طریقهٔ ترکیب A و L این تابع را بی‌طرف هارود، یا با پیشرفت فنی کار فزاینده می‌کند. با فرض دوم مدل می‌توانیم تابع تولید را به شکل زیر بنویسیم:

$F({\frac {K}{AL}},1)={\frac {1}{AL}}F(K,AL)$$F({\frac {K}{AL}},1)={\frac {1}{AL}}F(K,AL)$

${\frac {K}{AL}}$${\frac {K}{AL}}$ مقدار سرمایهٔ سرانهٔ نیروی کار مؤثر و ${\frac {F(K,AL)}{AL}}={\frac {Y}{AL}}$${\frac {F(K,AL)}{AL}}={\frac {Y}{AL}}$ تولید سرانهٔ نیروی کار مؤثر است. اگر $k={\frac {K}{AL}}$$k={\frac {K}{AL}}$ و $y={\frac {Y}{AL}}$$y={\frac {Y}{AL}}$ و $f(k)=F(k,1)$$f(k)=F(k,1)$ را تعریف کنیم، خواهیم داشت:

$y=f(k)$$y=f(k)$

تابع تولید کاب - داگلاس

${\begin{aligned}F(K,AL)&=(cK)^{\alpha }(cAL)^{1-\alpha }\\&=c^{\alpha }c^{1-\alpha }K^{\alpha }(AL)^{1-\alpha }\\&=cF(K,AL)\end{aligned}}$${\begin{aligned}F(K,AL)&=(cK)^{\alpha }(cAL)^{1-\alpha }\\&=c^{\alpha }c^{1-\alpha }K^{\alpha }(AL)^{1-\alpha }\\&=cF(K,AL)\end{aligned}}$

$f(k)=F({\frac {K}{AL}},1)=({\frac {K}{AL}})^{\alpha }=k^{\alpha }$$f(k)=F({\frac {K}{AL}},1)=({\frac {K}{AL}})^{\alpha }=k^{\alpha }$

${\begin{aligned}\;\Rightarrow \;&f'(k)=\alpha k^{\alpha -1}>0\\&f''(k)=-(1-\alpha )\alpha k^{\alpha -2}<0\end{aligned}}$${\begin{aligned}\;\Rightarrow \;&f'(k)=\alpha k^{\alpha -1}>0\\&f''(k)=-(1-\alpha )\alpha k^{\alpha -2}<0\end{aligned}}$

تحول داده‌ها در تولید

${\dot {L}}(t)=nL(t)$${\dot {L}}(t)=nL(t)$

${\dot {A}}(t)=gA(t)$${\dot {A}}(t)=gA(t)$

که در اینجا $n$$n$ و $g$$g$ برونزا هستند. اصولاً نرخ رشد یک متغیر، نرخ نسبی تغییر آن است:

${\dot {X}}={\frac {\operatorname {d} X(t)}{\operatorname {d} t}}$${\dot {X}}={\frac {\operatorname {d} X(t)}{\operatorname {d} t}}$

${\frac {\operatorname {d} lnX(t)}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ln(X(t)}{\operatorname {d} X(t)}}{\frac {\operatorname {d} X(t)}{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{X(t)}}{\dot {X}}(t)={\frac {{\dot {X}}(t)}{X(t)}}$${\frac {\operatorname {d} lnX(t)}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ln(X(t)}{\operatorname {d} X(t)}}{\frac {\operatorname {d} X(t)}{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{X(t)}}{\dot {X}}(t)={\frac {{\dot {X}}(t)}{X(t)}}$

$\;\Rightarrow \;{\begin{cases}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}=n\\{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}=g\end{cases}}$$\;\Rightarrow \;{\begin{cases}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}=n\\{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}=g\end{cases}}$

$\;\Rightarrow \;{\begin{cases}lnL(t)=[lnL(0)]+nt\;\Rightarrow \;L(t)=L(0)e^{nt}\\lnA(t)=[lnA(0)]+gt\;\Rightarrow \;A(t)=A(0)e^{gt}\end{cases}}$$\;\Rightarrow \;{\begin{cases}lnL(t)=[lnL(0)]+nt\;\Rightarrow \;L(t)=L(0)e^{nt}\\lnA(t)=[lnA(0)]+gt\;\Rightarrow \;A(t)=A(0)e^{gt}\end{cases}}$

و اما نرخ رشد سرمایه عبارت است از قسمتی از تولید که به سرمایه‌گذاری اختصاص می‌یابد منهای استهلاک سرمایه:

${\dot {K}}(t)=sY(t)-\sigma K(t)$${\dot {K}}(t)=sY(t)-\sigma K(t)$

که در آن $s$$s$ درصد سهم سرمایه‌گذاری از تولید یا همان نرخ پس‌انداز بوده و $\sigma$$\sigma$ نرخ استهلاک سرمایه است. فرض می‌شود که $n$$n$، $g$$g$ و $\sigma$$\sigma$ نسبتاً کوچک بوده و مجموع آنها مثبت است.

ساده‌سازی‌های مدل

- تنها یک کالا در نظر گرفته شده است.

- دولت وجود ندارد.

- نواسانات در اشتغال در نظر گرفته نشده است.

- تابع تولید یک تابع کلان با تنها سه نهاده است.

- نرخ‌های پس‌انداز، استهلاک، رشد جمعیت، و پیشرفت فنی ثابت در نظر گرفته شده‌اند.

پویایی‌های الگو

نمودار تقابل سرمایه‌گذاری واقعی و سرمایه‌گذاری سر به سر در مدل رشد سولو، به منظور به دست آوردن سرمایه بر حسب نیروی کار مؤثری که در آن نرخ رشد سرمایه بر حسب نیروی کار مؤثر صفر است.

نمودار فازی سرمایه‌گذاری سرانهٔ نیروی کار مؤثر در الگوی رشد سولو.

طبق فرض تحولات نیروی کار و دانش برونزا در نظر گرفته شده است، پس به دنبال پویایی‌های $k$$k$ هستیم؛$k={\frac {K}{AL}}$$k={\frac {K}{AL}}$

${\begin{aligned}\;\Rightarrow \;{\dot {k}}(t)&={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]\\&={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}\\&={\frac {sY(t)-\sigma K(t)}{A(t)L(t)}}-k(t)n-k(t)g\\&=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\sigma k(t)-nk(t)-gk(t)\qquad ,\qquad f(k)={\frac {Y}{AL}}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\;\Rightarrow \;{\dot {k}}(t)&={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{[A(t)L(t)]^{2}}}[A(t){\dot {L}}(t)+L(t){\dot {A}}(t)]\\&={\frac {{\dot {K}}(t)}{A(t)L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {L}}(t)}{L(t)}}-{\frac {K(t)}{A(t)L(t)}}{\frac {{\dot {A}}(t)}{A(t)}}\\&={\frac {sY(t)-\sigma K(t)}{A(t)L(t)}}-k(t)n-k(t)g\\&=s{\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}-\sigma k(t)-nk(t)-gk(t)\qquad ,\qquad f(k)={\frac {Y}{AL}}\end{aligned}}$

$\;\Rightarrow \;{\dot {k}}(t)=sf(k(t))-(n+g+\sigma )k(t)$$\;\Rightarrow \;{\dot {k}}(t)=sf(k(t))-(n+g+\sigma )k(t)$

که این آخرین معادله، معادلهٔ اصلی الگوی سولو نام دارد. عبارت $sf(k(t))$$sf(k(t))$ سرمایه‌گذاری سرانه بر حسب نیروی کار مؤثر، و عبارت $(n+g+\sigma )k(t)$$(n+g+\sigma )k(t)$ سرمایه‌گذاری سر به سر، یا مقدار سرمایه‌گذاری لازم برای نگهداشتن $k$$k$ در سطح جاری است.

در این نمودارها، $k$$k$ به سمت $k^{*}$$k^{*}$ همگرایی دارد.

در $k^{*}$$k^{*}$:

- $L$$L$ و $A$$A$ با نرخ‌های $n$$n$ و $g$$g$ رشد می‌کنند.

- موجودی سرمایه $K$$K$ برابر $AL$$AL$ می‌شود.

- $K$$K$ با نرخ $n+g$$n+g$ رشد می‌کند:

${\frac {\dot {K}}{K}}=n+g$${\frac {\dot {K}}{K}}=n+g$

- با فرض بازگشت به مقیاس ثابت $Y$$Y$ نیز با نرخ $n+g$$n+g$ رشد می‌کند.

- سرانجام سرمایه و تولید سرانه ${\frac {K}{L}}$${\frac {K}{L}}$ و ${\frac {Y}{L}}$${\frac {Y}{L}}$ با نرخ $g$$g$ رشد می‌کنند.

روی مسیر رشد متعادل، نرخ رشد تولید سرانه تنها به وسیلهٔ نرخ پیشرفت فنی معین می‌شود.

جستارهای وابسته

• رشد اقتصادی