تابع محدب

تابع کوژ بر یک بازه

تابع کوژ یا محدب، تابعی پیوسته است که اگر دو نقطه دلخواه بر روی این تابع در نظر بگیریم، پاره‌خط پیونددهندهٔ این دو نقطه همواره بالای این نمودار جای می‌گیرد.

تابع‌های $f(x)=x^{2}$$f(x)=x^{2}$ و تابع نمایی $f(x)=e^{x}$$f(x)=e^{x}$ دو نمونه آشنا از توابع کوژ هستند. بسیاری از نابرابری‌های متداول در آنالیز ریاضی ریشه در کوژی دارند. نابرابری‌های ینسن، هولدر، مینکوفسکی چند نمونه از این نابرابری‌ها هستند.

تعریف

فرض کنیم $-\infty \leq a<b\leq +\infty$$-\infty \leq a<b\leq +\infty$، تابع $f:(a,b)\to \mathbb {R}$$f:(a,b)\to \mathbb {R}$ را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد $x_{1},x_{2}\in (a,b)$$x_{1},x_{2}\in (a,b)$ و هر $t$$t$ که $0\leq t\leq 1$$0\leq t\leq 1$، داشته باشیم:

$\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in [0,1]:\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$$\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in [0,1]:\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

اگر در تعریف بالا تساوی را برداریم آنگاه $f$$f$ را اکیداً کوژ می‌نامیم.

$\forall x_{1}\neq x_{2}\in X,\forall t\in (0,1):\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$$\forall x_{1}\neq x_{2}\in X,\forall t\in (0,1):\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

خاصیت‌ها

$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}$$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}$

$\forall x_{1},x_{2}\in C:\qquad f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.$$\forall x_{1},x_{2}\in C:\qquad f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.$

$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$

$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\leq tf(x)+(1-t)f(0)\leq tf(x),\quad \forall t\in [0,1].$$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\leq tf(x)+(1-t)f(0)\leq tf(x),\quad \forall t\in [0,1].$

$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\leq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\leq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$

جستارهای وابسته

• مجموعه محدب
• بهینه‌سازی محدب
• تابع کاو

منابع

• مدقالچی، علیرضا. آنالیز ریاضی ۱. چاپ نهم. تهران: دانشگاه پیام نور، ۱۳۸۸. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵. 
• رودین، والتر. آنالیز حقیقی و مختلط. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ ششم. تهران: مبتکران، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۵۹۹۳-۵۱-۱.